理解零知识算法PLONK（二）——协议

上一篇主要描述了PLONK协议里的一个核心部分，用置换校验的方法去证明电路门之间的一致性；接下来，将继续分享如何证明门的约束关系得成立，以及整体的协议剖析。

举个简单的例子，假如存在一个电路，电路中仅有3个乘法门，对应的约束如下：

L1 * R1 - O1 = 0

L2 * R2 - O2 = 0

L3 * R3 - O3 = 0 

进行多项式压缩：定义多项式函数L(X),R(X),O(X) 满足：

L(1) = L1, R(1) = R1, O(1) = O1

L(2) = L2, R(2) = R2, O(2) = O2

L(3) = L3, R(3) = R3, O(3) = O3

此时，定义新的多项式函数F(X)，令F(X) = L(X) * R(X) - O(X) 则有：

F(1) = L(1) * R(1) - O(1) = 0

F(2) = L(2) * R(2) - O(2) = 0

F(3) = L(3) * R(3) - O(3) = 0

也就是表明：如果多项式函数F(X)在X=1,2,3处有零点，则说明门关系约束成立。

多项式函数F(X)在X=1,2,3处有零点则表明多项式F(X)可以被(X - 1)(X - 2)(X - 3)整除，为了和论文一致，我们把这个多项式函数设置成Z(X)，即：

F(X) = T(X) * Z(X) ==> T(X) = F(X) / Z(X) 

如果能证明T(X)是一个多项式，则说明多项式F(X)与Z(X)有相同的零点，进而说明门约束关系成立。

一般过程应该如下：

1. P计算F(X)并把F(X)发送给V；

2. V根据Z(X)直接校验F(X) / Z(X) 

但是如此过程存在两个问题，一个是复杂性问题，假如F(X)的阶为n，那通信复杂度就是O(n)；而是安全性问题，多项式F(X)完全暴露给V。

那应该如何解决这两个问题呢？最佳的答案可能就是：多项式承诺

什么是多项式承诺？就是证明方P用一个很短的数据来代表一个多项式F，这些很短的数据可以被验证方V用来验证多项式F在某一点的值确实为证明方P声称的值z。

具体看一下论文里的定义：

Fig1. 多项式承诺

由图可知：

1. Setup: 初始化，生成计算多项式承诺需要的一些必备参数；

2. Commit: 计算多项式承诺，其结果是一个值；

3. Open: 返回与多项式承诺对应的多项式函数；

4. VerifyPoly: 验证多项式承诺是否和多项式函数一致；

5. CreateWitness: 证明多项式函数在某一点的值是否是证明方P声称的值，具体的数学方法就是：判断多项式是否能被整除，即：

6. VerifyEval: 验证方V验证多项式函数在某一点的值是否是证明方P声称的值，具体的数学方法是：利用双线性配对验证其数学乘法逻辑关系。

继续回到我们上面的问题：证明方如何证明：T(X) = F(X) / Z(X)，我们再简化一下场景，就令Z(X) = X - 1，则: 

T(X) = F(X) / (X - 1) ==> T(X) * (X - 1) = F(X) ==> T(X) * X = F(X) + T(X) 

对应多项式承诺的协议可知：证明方P其实是想证明多项式函数F(X)再X = 1处的值为0，因此根据协验证方只需要证明：

e(Commit(T(x)), x*G) =？e(Commit(F(x)) +Commit (T(x)), G)  (双线性配对的性质) 

可以看出，利用多项式承诺的数学工具，既可以实现复杂度的优化，又可以实现隐私保护。

接下来分析一下完整的PLONK协议：

Relation

Fig2. Relation 

上图表示了PLONK算法里，要证明的一种关系，需要说明的是：

1. w 代表着电路里的输入、输出，总共3n个，n是电路里乘法门的数量，每个门都有左输入，右输入和输出，因此w总共有3n个；

2. q* 代表着选择向量，它的取值对应这这个是乘法门，还是加法门等类似的约束类型

3. σ 代表着置换多项式，其表示门之间的一致性约束索引

4. 倒数第一个公式代表 门之间的约束成立

5. 倒数第二个公式代表 门的约束关系成立

CRS & P_Input & V_Input

Fig3. CRS & Prover & Verifier Input 

上图表示了PLONK算法里的CRS设置，以及证明方P和验证方V的一些输入，需要说明的是：

1. 整个协议都是基于多项式的，因此需要构建对应的多项式形式。

2. 多项式σ的阶是3n的，由于和多项式承诺相关的CRS最高的阶位n+2，因此需要把σ拆分成3个多项式S,分别记录每个多项式的置换关系(L,R,O);

3. 为了减少通信复杂度和保护隐私，协议基于多项式承诺构建，因此验证方V的输入都是承诺值。

Prove

Fig4. Prove part_1 

上图表示了PLONK算法里证明方的一些操作，需要说明的是：

1. b1,...b9是随机数，从用法看是为了安全，但是我暂时也没明白，不加这个随机数，又会有什么安全问题？

2. a(X),b(X),c(X)分别是代表了电路里的左输入，右输入和输出

3. [a],[b],[c]表示多项式的承诺值，参考多项式承诺小节里的承诺计算方法。

Fig5. Prove part_2 

上图表示了PLONK算法里证明方的一些操作，主要是置换校验，参考第一篇的置换校验的协议过程，生成多项式z(X)，需要说明的是：

1. β和ϒ都是用来生成置换校验函数的参数，详见第一篇里f(x)和g(x)的生成过程；

2. z(X)的生成方式对应置换校验里跨多项式的生成过程，Li(X)为拉格朗日多项式基，性质满足，尽在x=i的时候为1，其他为0；

3. 注意区分ω和w，ω是群H的生成元，是多项式的自变量的取值。w是电路的左输入，右输入和输出，是多项式L,R,O在在群H上的取值。

Fig6. Prove part_3 

上图表示了PLONK算法里证明方P的一些操作，主要是把门约束和门之间的一致性约束组合到一起，通过α，需要说明的是：

1. 根据前面的描述，门约束多项式和一致性约束多项式在群H上的所有元素都是取值为0的，因此都会被多项式ZH(X)整除，等同于上面所述的T(X);

2. 因此，证明方只要能证明整除的结果的确是多项式，那就能证明，门约束多项式和一致性多项式在群H所有元素上取值为0，即所有约束关系成立，即电路逻辑成立；

3. 可以知道的是t(X)的阶最高为3n，但是用于计算承诺的CRS只到了n的级别，因此需要把多项式t(X)拆分，然后单独计算承诺值。

Fig7. Prove part_4 上图表示了PLONK算法了证明方P的一些操作，主要根据多项式承诺的协议，前面P算出了多个多项式在点x=z处的值是多少，现在要用多项式承诺协议去证明，这些计算是正确的，需要说明的是：

1. 为了减少验证方V的操作复杂度，t(X)的分子部分r(X)在x=z处的值，P计算好，然后验证方直接验证，其他的操作类似；

2. v的值看起来是为了更安全；

3. Wz(X)对应多项式协议里的CreateWitness操作，证明这些多项式r(X),a(X),b(X)等在x=z处的值确实等于r,a,b等，对Wzw(X)同理，并返回承诺值。

Verify 

至此，证明方P的所有操作都完事了，接下来都是验证方V的操作。

Fig8. Verify part_1 

上图表示了PLONK算法里验证方V的一些操作，主要重新生成相关的参数，确保证明方P没有作恶。需要说明的是：

1. 从输入看，比较清晰，就是一些公开的输入和证明方P的证明输出；

2. 根据输入，生成置换校验过程中需要的一些参数

Fig9. Verify part_2 

上图表示了PLONK算法里验证方V的一些操作，对于一些公开的，并且计算复杂度很小的多项式，其在x=z处的值还是需要自己计算，更为方便。需要说明的是：

1. 根据证明方P的过程来看，验证方V的核心工作就是验证两个多项式承诺；

2. 两个多项式承诺验证需要两个配对，可以通过一个参数组合成一个配对，即μ；

3. 在验证前，先计算Wz(x), Wzw(x)的分母在x=z处的值，两部分，减数和被减数，分别对应[F],[E]。μ作为系数的，就是对应Wzw(X)多项式的。

4. 最后通过一个双线性配对操作完成两个多项式承诺的验证。

至此，PLONK算法的协议原理已全部分享完成，公式很密集，但是细分下来，又很有层次感。能坚持看完，已实属不易。各位读者有什么不同的简介，还请指教，谢谢。