本文作者东泽，来自安比技术社区的小伙伴，目前就读于斯坦福大学，研究方向密码学。
上期文章中，我们了解了Lattice Trapdoor的第一个实践用处——即身份加密IBE。同时，我们也看到了最简单的CHKP10 IBE身份加密系统。
粗略的概括一下CHKP10做了什么：我们把代表Identity（身份）的拆分成二进制的bits，然后每一位都对应选择一个LWE的矩阵。我们最终把这些选好的矩阵全部拼接起来，再通过实现预留的Trapdoor找到对应这个大矩阵的密钥，就可以进行Dual Regev的加解密了。像这种根据Identity的每一个bit选择矩阵组合起来变成一个新矩阵的构造在密码学中非常常见，这里先留作一个悬念，如果后面有机会写到基于GGH15的Multilinear Map而实现的Indistinguishability Obfuscation（iO）的话，我们会发现非常相似的构造。在上期的最后，我们同样也发现了CHKP10构造的一个缺陷：公钥的大小和ID的长度是等比线性增长的，这会大大影响这个IBE体系的存储空间和计算效率。其实呢，CHKP10只是我们了解完Lattice Trapdoor之后入门的第一种IBE构造。同样是在2010年，整个密码学圈子里还诞生出了另一种IBE的构造——ABB10。ABB10，顾名思义，是由Agrawal，Boneh与Boyan三位在2010年提出的。ABB10不同于CHKP10的是：它的加密矩阵是恒定大小的，并不会随着的长度变长而变大。我们来看看ABB10的具体构造吧。ABB10的公共参数生成较为简单。首先，我们需要指定两个随机的问题矩阵，以及SIS问题的结果向量。最后，我们还需要借助之前讨论过的工具矩阵。我们生成的时候，需要通过之前的Trapdoor生成方法来生成。的Trapdoor 就是我们的MSK了。乍一看，参数生成的部分和CHKP10基本相似。真正有区别的地方在于ID矩阵的生成。计算ID矩阵的方法很简单，我们只需要把的值乘以矩阵，然后叠加在上即可：对应某个的密钥和之前一样，就是基于的SIS问题的短向量解：找到这个密钥的方法也和CHKP10是一样的，因为我们知道了的Trapdoor ，所以不管我们怎么变换位置上的值，永远都可以找到整个的SIS解。为了完整性与正确性，我们来快速的看一下ABB10下是如何实现加密算法的。和CHKP10一样，我们使用Dual Regev的加密算法来加密。首先我们选择一个随机的向量和对应的噪音，随后输出：
了解完ABB10的构造之后，接下来最重要的部分就是安全性的论证了。再上一篇文章研究CHKP10的时候，我们已经学习了关于Simulation的这一概念。这也就是说，只要我们能够在不知道MSK的情况下“模拟”出整个IBE体系，并且与Adversary成功进行交互，那么就代表这个体系是安全的。
具体来说的话，这个论证需要以下的要求：
- 我们作为Challenger并不知道对应的密钥，所以也不能知道MSK。
- Challenger需要能够提供给Adversary任何其他的所对应的IBE密钥。
- 最后，Challenger需要根据Adversary的身份以及提供的构造出一个IBE密文。如果Adversary可以破解这个密文的语义安全（即可以分辨密文中到底是哪条消息），那么我们可以利用这个Adversary来解决格中的难题。
在上文中，我们已经知道了ABB10 IBE的身份矩阵的构造：接下来，我们需要巧妙的利用这个结构，构造出我们想要的，进而能满足前三个要求。首先，因为我们不能知道MSK，所以我们需要诚实的构造矩阵，即随机的选择一个没有Trapdoor的平均分布矩阵。接下来，我们需要想办法把这一特殊的身份嵌入在我们的矩阵当中。为什么呢？因为上述的要求表示，我们需要恰好在这个身份上失去生成密钥的能力，然而对于其他的身份，我们仍然可以生成有效的IBE密钥。因为我们实现就知道了Adversary的身份，所以我们可以随机选择一个矩阵，然后设定的值为：这样一来，如果我们把代入回原本的矩阵的话，那么就会变成这样：一旦出现了这样的结构，这个身份矩阵就变得非常特殊了。首先，如果的话，那么我们就会得到一个类似于MP12给出的Lattice Trapdoor一样的构造：这里的对应了，唯一的区别只是和的符号发生了变化而已，然而这并不会影响我们生成Trapdoor的能力。因为是我们自己选取的，这个就可以被当作Trapdoor来使用，从而生成任何对应的IBE密钥。最后，我们再来看如果的情况下，我们会发现带有的这一项彻底的消失了（vanished）！这样以来，整个矩阵就变成了：因为都是随机选择的平均分布矩阵，所以整个也是一个平均分布的没有Trapdoor的矩阵了。一旦失去了之后，就没有办法把基于的SIS或者LWE问题规约到之前讨论过的上，我们也就不能轻松求解SIS或者LWE了。如果Adversary仍然可以分辨出基于下的密文的话，那么这代表Adversary可以不借助任何Trapdoor还原SIS问题的解。这一能力超出了我们对于SIS问题困难度的假设，所以是不存在的。如果存在的话，我们就可以拿这个Adversary出去任意的破解其他的SIS问题。
最后，我们再来比较一下上述描述的Simulation与实际的IBE加密算法。在实际的版本中，我们所生成的MSK就是的Trapdoor，如果是通过我们之前描述的MP12构造的话，那么就是矩阵。因为我们知道了的Trapdoor，我们就可以随机的选择。在Simulation中，我们使用了来构造矩阵。因为是随机选择的，根据Leftover Hash Lemma，我们可以推测出的分布对于不知道的人来说也是随机平均分布的！这里的MSK就是我们选择的。我们相比两种情况下的MSK与之后，会发现其实不管是实际版本还是Simulation，我们选择的参数的概率分布都是一样的。这也就是说，如果我们把某个体系中Challenger与Adversary沟通的Transcript（通讯记录）存下来，给另一个人看，那么那个人并不能分辨这个Transcript所对应的是实际的还是Simulation。这就是密码学中统称的Indistinguishability（不可分辨性）。一旦我们证明了实际版本与Simulation的不可分辨性之后，我们的安全论证也就基本完成了。如果快速的回顾一下核心的话， 那就是我们可以把这个身份嵌入在矩阵当中，从而导致当的时候，Trapdoor就自然消失了。这一巧妙的构造让我们可以在不知道的密钥的情况下，正确的生成其他的的密钥。
封面图来自unsplash，作者Ilya Pavlov
